✖️ 확률과 통계학 : CHAP 3. 확률분포 // 확률변수와 확률분포, 이산확률분포, 연속확률분포

CHAP 3. 확률분포

 

 

✖️ 확률변수와 확률분포

 

✅ 확률변수 (Random Variable)

• 의미:

통계적 시행(예: 동전 던지기, 주사위 던지기 등)의 결과를 수치화한 변수

→ 이산값, 연속값, 범주형 값 모두 가능

 

• 왜 “변수”인가?

시행 결과는 무작위(랜덤)로 변하므로 “확률변수”라고 부름

 

• 예시

동전을 3번 던지는 시행의 표본공간:

{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

→ 이 중 H의 개수를 변수 X로 설정:  X ∈ {0, 1, 2, 3}

 

• 분류

유형	설명	예시
이산 확률변수	셀 수 있는 값	주사위 눈, 불량품 수
연속 확률변수	실수 범위의 값	키, 몸무게, 시간
범주형 확률변수	명목적 구분	선호 색상, 혈액형

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✅ 확률분포 (Probability Distribution)

• 의미:

확률변수가 특정 값을 가질 확률을 수학적으로 나타낸 것

표본공간(통계적 실험 시행에서 나올 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합)의 각 원소 또는 구간에 대한 확률

 

• 예시

 

 

• 이론적 분포 vs 경험적 분포 (표본분포)

확률분포	수학적으로 정의된 이론적 분포 • 주어진 조건 하에서 모든 가능한 결과에 대한 확률이 정해져 있음 • 시행을 하지 않아도 확률을 계산할 수 있음	정육면체 주사위 →  P(X = x) = 1/6   for  x = 1,2,3,4,5,6
표본분포	실험/관찰을 통해 얻은 데이터(관찰된 결과의 비율(상대도수)) 기반의 분포 • 실험 결과로 얻어진 데이터 기반 • 시행 횟수(n)가 작으면 이론분포와 차이가 있음 • n이 커질수록 확률분포에 수렴 (→ 대수의 법칙)	주사위를 100번 던졌더니 1이 12번, 2가 18번, … 6이 17번 나왔다면  P(X=1) = 0.12, P(X=2) = 0.18, …, P(X=6) = 0.17

 

 

n이 증가할수록 표본분포는 이론적 확률분포에 수렴한다

→ 대수의 법칙(Law of Large Numbers)에 의해 증명

구분	확률분포	표본분포
의미	이론적 확률 모델	실험 결과의 상대도수
기반	수학적 정의	실제 시행 데이터
대상	모집단(population)	표본(sample)
형태	이상적 / 정확함	현실적 / 오차 존재
수렴 여부	고정됨	시행 수 증가 시 확률분포에 수렴

 

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✖️ 이산확률분포

 

 

✅ 이산확률변수 (Discrete Random Variable)

• 정의:

결과값이 정수이거나 셀 수 있는 개수로 떨어지는 확률변수

 

• 예시:

• 불량 제품 수 (0, 1, 2, …)

• 주사위 눈 (1~6)

• 고객 수, 이메일 도착 수

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✅ 이산확률분포 (Discrete Probability Distribution)

• 의미:

이산 확률변수가 가질 수 있는 각 값에 대한 확률을 부여한 함수

• 이산확률분포는 확률질량함수 (pmf: probability mass function)로 표현함

 

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✅ 3. 확률질량함수 (PMF)

• 정의:

확률변수의 각 가능한 값에 대해 확률을 부여하는 함수

 

• 성질 (조건):

1 → 모든 확률은 0 이상

2 → 가능한 모든 값의 확률의 합은 1

 

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예시: 주사위 던지기

 

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✖️ 연속확률분포

 

✅ 연속확률변수 (Continuous Random Variable)

 

• 정의:

무한히 많은 값을 가질 수 있는 확률변수 (실수 범위에서 연속적인 값)

 

• 예시:

• 매출액 (ex: 1,230,456.72원)

• 사람의 키, 몸무게

• 나이, 시간, 거리 등

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✅ 확률밀도함수 (PDF: Probability Density Function)

• 연속확률변수는 확률 자체를 특정 값에 할당할 수 없음 (점 확률 = 0)

• 대신, 구간에 대한 확률을 확률밀도함수 를 이용해 면적으로 계산함

 

 

확률밀도함수의 조건 

 

1. 0 이상

2. 전체 면적 = 1

3. 구간 확률 계산 가능

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✅ 비교 요약 :  이산 vs 연속 확률분포

구분	이산확률변수	연속확률변수
값의 형태	정수/셀 수 있음	실수/연속
확률함수	확률질량함수 (pmf)	확률밀도함수 (pdf)
점 확률	P(X=x) > 0  가능	P(X=x) = 0
구간 확률	값 하나하나 더함	적분(면적)으로 계산
예시	주사위, 불량품 수	키, 나이, 시간

 

📌 핵심 요약

• 연속 확률변수는 무한한 실수값을 가질 수 있는 변수

• 확률은 구간으로 계산하며, 점 확률은 항상 0

• 확률밀도함수(pdf)는 3가지 조건을 만족해야 함

• 대표 분포: 균등분포, 정규분포, 지수분포 등